Algèbre linéaire Exemples

$5 x - 4 y - 6 z = - 3$ , $x - 3 y + z = - 1$ , $- 3 x - 6 y + 7 z = 1$

Étape 1

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 & - 6 & - 3 \\ 1 & - 3 & 1 & - 1 \\ - 3 & - 6 & 7 & 1 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{- 4}{5} & \frac{- 6}{5} & \frac{- 3}{5} \\ 1 & - 3 & 1 & - 1 \\ - 3 & - 6 & 7 & 1 \end{array}]$

Étape 2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{6}{5} & - \frac{3}{5} \\ 1 & - 3 & 1 & - 1 \\ - 3 & - 6 & 7 & 1 \end{array}]$

Étape 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{6}{5} & - \frac{3}{5} \\ 1 - 1 & - 3 + \frac{4}{5} & 1 + \frac{6}{5} & - 1 + \frac{3}{5} \\ - 3 & - 6 & 7 & 1 \end{array}]$

Étape 2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{6}{5} & - \frac{3}{5} \\ 0 & - \frac{11}{5} & \frac{11}{5} & - \frac{2}{5} \\ - 3 & - 6 & 7 & 1 \end{array}]$

Étape 2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Étape 2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{6}{5} & - \frac{3}{5} \\ 0 & - \frac{11}{5} & \frac{11}{5} & - \frac{2}{5} \\ - 3 + 3 \cdot 1 & - 6 + 3 (- \frac{4}{5}) & 7 + 3 (- \frac{6}{5}) & 1 + 3 (- \frac{3}{5}) \end{array}]$

Étape 2.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{6}{5} & - \frac{3}{5} \\ 0 & - \frac{11}{5} & \frac{11}{5} & - \frac{2}{5} \\ 0 & - \frac{42}{5} & \frac{17}{5} & - \frac{4}{5} \end{array}]$

Étape 2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5}{11}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5}{11}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{6}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{5}{11} \cdot 0 & - \frac{5}{11} (- \frac{11}{5}) & - \frac{5}{11} \cdot \frac{11}{5} & - \frac{5}{11} (- \frac{2}{5}) \\ 0 & - \frac{42}{5} & \frac{17}{5} & - \frac{4}{5} \end{array}]$

Étape 2.4.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{6}{5} & - \frac{3}{5} \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{2}{11} \\ 0 & - \frac{42}{5} & \frac{17}{5} & - \frac{4}{5} \end{array}]$

Étape 2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{42}{5} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Étape 2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{42}{5} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{6}{5} & - \frac{3}{5} \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{2}{11} \\ 0 + \frac{42}{5} \cdot 0 & - \frac{42}{5} + \frac{42}{5} \cdot 1 & \frac{17}{5} + \frac{42}{5} \cdot - 1 & - \frac{4}{5} + \frac{42}{5} \cdot \frac{2}{11} \end{array}]$

Étape 2.5.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{6}{5} & - \frac{3}{5} \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{2}{11} \\ 0 & 0 & - 5 & \frac{8}{11} \end{array}]$

Étape 2.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Étape 2.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{6}{5} & - \frac{3}{5} \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{2}{11} \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot \frac{8}{11} \end{array}]$

Étape 2.6.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{6}{5} & - \frac{3}{5} \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{2}{11} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{55} \end{array}]$

Étape 2.7

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Étape 2.7.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{6}{5} & - \frac{3}{5} \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & \frac{2}{11} - \frac{8}{55} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{55} \end{array}]$

Étape 2.7.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{6}{5} & - \frac{3}{5} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{55} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{55} \end{array}]$

Étape 2.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{6}{5} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Étape 2.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{6}{5} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{6}{5} \cdot 0 & - \frac{4}{5} + \frac{6}{5} \cdot 0 & - \frac{6}{5} + \frac{6}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} + \frac{6}{5} (- \frac{8}{55}) \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{55} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{55} \end{array}]$

Étape 2.8.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & 0 & - \frac{213}{275} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{55} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{55} \end{array}]$

Étape 2.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{4}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 2.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{4}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{4}{5} \cdot 0 & - \frac{4}{5} + \frac{4}{5} \cdot 1 & 0 + \frac{4}{5} \cdot 0 & - \frac{213}{275} + \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{55} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{55} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{55} \end{array}]$

Étape 2.9.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{41}{55} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{55} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{55} \end{array}]$

Étape 3

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x = - \frac{41}{55}$

$y = \frac{2}{55}$

$z = - \frac{8}{55}$

Étape 4

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(- \frac{41}{55}, \frac{2}{55}, - \frac{8}{55})$

Étape 5

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{41}{55} \\ \frac{2}{55} \\ - \frac{8}{55} \end{array}]$